重要凸函数

基本初等函数

  • 指数函数:对任意 $a \in \mathbf{R}$,函数 $f(x) = e^{ax}$ 在 $\mathbf{R}$ 上是凸的。
  • 对数函数:函数 $f(x) = \log{x}$ 在 $\mathbf{R} _{++}$ 上是凸函数。
  • 幂函数:当 $a \geqslant 1$ 或 $a \leqslant 0$ 时,$f(x) = x^a$ 在 $\mathbf{R} _{++}$ 上是凸函数;当 $0 \leqslant a \leqslant 1$,函数 $x^a$ 在 $\mathbf{R} _{++}$ 上是凹函数。

复合函数

负熵

函数 $f(x) = x \log{x}$ 在其定义域上是凸函数。其定义域为 $\mathbf{R} _{++}$,但也可以定义在 $\mathbf{R} _+$ 上($f(0) = 0$),这是因为

$$ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \log{x} &= \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\log{x}}{1/x} \\\\ &= \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1/x}{-1/x^2} \\\\ &= 0 \end{aligned} $$

函数 $f$ 的导数和二阶导数为

$$ f^{\prime}(x) = \log{x} + 1, \quad f^{\prime \prime}(x) = \frac{1}{x} > 0 $$

范数

$\mathbf{R}^n$ 上的任意范数均为凸函数。

二次-线性分式函数

二元函数 $f(x,y) = \frac{x^2}{y}$ 是凸函数,其定义域为

$$ \operatorname{dom} f = \mathbf{R} \times \mathbf{R} _{++} = \{ (x, y) \in \mathbf{R} ^2 \mid y > 0 \} $$

指数和的对数

函数 $f(x) = \log{(e^{x_1} + \cdots + e^{x_n})}$ 在 $\mathbf{R}^n$ 上是凸函数。

下面是函数 $f(x) = \log{(e^x + e^y)}$ 的图像。

几何平均数

几何平均数函数 $f(x)=\left(\prod_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{1 / n}$ 在定义域 $\operatorname{dom} f=\mathbf{R}_{++}^{n}$ 上是凹函数。

分段函数

绝对值幂函数

当 $p \geqslant 1$ 时,函数 $|x|^p$ 在 $\mathbf{R}$ 上是凸函数。

最大值

最大值函数是凸函数是很显然的。

证明

判断上述函数的凸性可以通过多种途径。可以直接验证一阶条件是否成立,亦可以验证其 Hessian 矩阵是否半正定,或者可以将函数转换到与其定义域相交的任意直线上,通过得到的单变量函数判断原函数的凸性。

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