广义不等式

正常锥与广义不等式

若锥 $K \subseteq \mathbf{R}^{n}$ 是凸的、闭的、实的(具有非空内部)、尖的($x \in K \wedge -x \in K \Rightarrow x=0$),则称之为正常锥。

正常锥 $K$ 可以用来定义广义不等式,即 $\mathbf{R}^{n}$ 上的偏序关系

\begin{array}{c} x \preceq_{K} y \Longleftrightarrow y-x \in K \end{array}

严格偏序关系定义为

\begin{array}{c} x \prec_{K} y \Longleftrightarrow y-x \in \operatorname{int} K \end{array}

偏序关系与广义不等式

在《离散数学》的课堂中,我们学过二元关系中有一种关系是偏序关系,它满足:

  • 自反性:$\forall x$,$xRx$
  • 反对称性:$\forall x, y$,$xRy \wedge yRx \Longrightarrow x = y$
  • 传递性:$\forall x, y, z$,$xRy \wedge yRz \Longrightarrow xRz$

实际上,实数集 $\mathbf{R}$ 上的小于等于 $\leqslant$ 就是一种偏序关系。广义不等式是此概念的推广,不过需要集合是正常锥,因此在 $n$ 维空间的非负象限 $\mathbf{R}^n_{+}$ 上可以比较向量的大小。(今后使用 $\preceq$ 时,如果不加下标,默认是在 $\mathbf{R}^n_{+}$ 上的广义不等式。)

那么,$\mathbf{R}^n_{+}$ 上的 $n$ 维向量如何比较大小呢?实际上,相应的广义不等式对于向量间的分量不等式,即

$$ x \preceq y \Longleftrightarrow x_i \leqslant y_i, i = 1, \cdots n $$

相应地,其严格不等式对应于严格的分量不等式,即

$$ x \prec y \Longleftrightarrow x_i < y_i, i = 1, \cdots n $$

广义不等式的性质

  • 具有偏序关系的性质:自反性、反对称性、传递性
  • 运算保序性:加法、非负数乘、极限

最(极)大(小)元

正常锥的最(极)大(小)元与《离散数学》课程中的二元关系的相关概念没有本质区别。

设 $x \in S$,对 $\forall y \in S$,均有 $x \preceq_{K} y$,则称 $x$ 是 $S$ 的最小元。最小元是唯一的。$x$ 是 $S$ 的最小元,当且仅当

\begin{align} S \subseteq x + K \end{align}

这里 $x + K$ 表示可以与 $x$ 相比并且大于或等于(根据 $\preceq_K$) $x$ 的所有元素。

设 $y \in S$,若 $y \subseteq_K x \Rightarrow y = x$,则称 $x$ 是 $S$ 上的极小元。极小元是不唯一的。$x$ 是 $S$ 上的极小元,当且仅当

\begin{align} (x - K) \cap S = \{x\} \end{align}

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