保凸运算

交集

交集运算是保凸的:如果 $S_1$ 和 $S_2$ 是凸集,那么 $S_1 \cap S_2$ 也是凸集。这个性质可以推广到无穷个凸集的交。

仿射函数

函数 $f: \mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R}^m$ 若满足 $f(x) = Ax + b$,其中 $A \in \mathbf{R}^{m \times n}$,$b \in \mathbf{R}^m$,则称 $f$ 是仿射函数。设 $S \subseteq \mathbf{R}^n$ 是凸的,那么 $S$ 在 $f$ 下的象

$$ \begin{align} f(S) = \{f(x) \mid x \in S\} \end{align} $$

也是凸的。从几何上看,凸集经过伸缩变换和平移变换后仍然是凸集。一个凸集向它的某几个坐标的投影也是凸的。

双曲锥

$$ \begin{align} \{x \mid x^{T} P x \leqslant\left(c^{T} x\right)^{2}, c^{T} x \geqslant 0\} \end{align} $$

其中 $P \in \mathbf{S}_+^n$,$c \in \mathbf{R}^n$。这是因为它是二阶锥

$$ \begin{align} \{(z, t) \mid z^Tz \leqslant t^2, t \geqslant 0\} \end{align} $$

在仿射函数 $f(x) = (P^{1/2}x, c^Tx)$ 下的原象。

椭球

$$ \begin{align} \mathcal{E}=\{x \mid\left(x-x_{c}\right)^{T} P^{-1}\left(x-x_{c}\right) \leqslant 1\} \end{align} $$

是单位 Euclid 球 ${u \mid |u| _2 \leqslant 1}$ 在仿射函数 $f(u) = P^{1/2}u + x_c$ 下的象,其中 $P \in \mathbf{S} _{++} ^{n}$。

透视函数

定义 $P: \mathbf{R}^{n+1} \rightarrow \mathbf{R}^{n}$,$P(z, t) = z/t$ 为透视函数,其定义域为 $\operatorname{dom} P = \mathbf{R}^{n} \times \mathbf{R}_{++}$。透视函数对向量进行伸缩,或称为规范化,使得最后一维分量为 $1$ 并舍弃之。

小孔成像

我们可以用小孔成像的原理来解释透视函数。

在二维空间 $\mathbf{R}^{2}$ 中,小孔坐标 $(0, 0)$。圆 $x^2 + (y-2)^2 = 1$ 在直线 $y = -\sqrt{3}$ 上所成的像为线段 $y = -\sqrt{3}, x \in [-1, 1]$。如图所示:

一个凸集在透视函数下的象和原象也是凸的,因此透视运算是保凸运算。

线性分式函数

线性分式函数有透视函数和仿射函数复合而成。设 $g: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{m+1}$ 是仿射的,即

$$ \begin{align} g(x) & = \left[\begin{array}{c} A \\\\ c^{T} \end{array}\right] x+\left[\begin{array}{l} b \\\\ d \end{array}\right] \end{align} $$

其中 $A \in \mathbf{R}^{m \times n}$,$b \in \mathbf{R}^{m}$,$c \in \mathbf{R}^{n}$ 并且 $d \in \mathbf{R}$。则由 $f = P \circ g$ 给出的函数 $f: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{m}$

$$ \begin{align} f(x) & = \left(A x+b\right) /\left(c^{T} x+d\right), \quad \operatorname{dom} f = \{x \mid c^{T} x+d>0\} \end{align} $$

称为线性分式函数(或投射函数)。如果 $c=0$,$d > 0$,则 $f$ 是仿射函数。因此,仿射函数和线性函数被视为特殊的线性分式函数。线性分式函数也是保凸运算。

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