分离与支撑超平面

超平面分离定理

设两个凸集 $C \cap D = \emptyset$,那么 $\exists a \ne 0, b$ 使得对 $\forall x \in C$ 有 $a^Tx \leqslant b$,对 $\forall x \in D$ 有 $a^Tx \geqslant b$。称超平面 $\{x \mid a^Tx = b\}$ 为凸集 $C$ 和 $D$ 的分离超平面,如图所示:

注:

  • 严格分离:即超平面分离定理中的等号不成立。
  • 超平面分离定理的逆命题:不成立。

支撑超平面

设 $C \subseteq \mathbf{R}^{n}$ 而 $x_0$ 是其边界 $\operatorname{bd} C$ 上的一点。如果 $a \ne 0$,并且对 $\forall x \in C$ 有 $a^T x = a^T x_0$,那么称超平面 $\{x \mid a^T x = a^T x_0\}$ 为集合 $C$ 在点 $x_0$ 处的支撑超平面。从几何上看,超平面 $\{x \mid a^T x = a^T x_0\}$ 与 $C$ 相切于点 $x_0$,半空间 $\{x \mid a^T x \leqslant a^T x_0\}$ 包含 $C$,如图所示:

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