挑战2021年高考数学全国Ⅰ卷压轴大题

2021年高考已落下帷幕,转眼间大学即将毕业。回想当年高考解析几何和导数两个压轴大题没能拿到满分,内心感到非常遗憾。因此,今天我将重新来到高考的古战场,再战解几导数大题。

每年高考全国Ⅰ卷数学的题型分布都会有小幅变化。过去,一般解析几何是第20题(倒数第二题,不含选做题),导数是第21题(压轴大题)。今年,解析几何成为压轴大题,导数则是倒数第二题。这究竟会带来怎样的变化?下面我们逐一来看这两题。

导数

设函数 $f(x) = \ln (a-x)$,已知 $x = 0$ 是函数 $y = xf(x)$ 的极值点。

(1) 求 $a$;

(2) 设函数 $g(x) = \frac{x+f(x)}{xf(x)} $,证明 $g(x) < 1$。

第(1)小题,我们可以根据题干当中的已知条件,通过极值点的性质列关于 $a$ 的方程,即可反解出 $a$。首先,我们对 $y$ 求导:

$$ \begin{align} y' &= f(x) + xf'(x) \\\\ &= \ln (a-x)-\frac{x}{a-x} \end{align} $$

然后,我们令 $x = 0$,$y’ = 0$,即可反解出 $a$:

$$ \begin{align} \ln a = 0\\\\ \Rightarrow a = 1 \end{align} $$

第(2)小题,如果直接对 $g(x)$ 求导,分母是幂函数和对数函数的复合函数,而且求导后在分子上会出现二次,计算量极其巨大。因此,去分母是本题的关键。

历年来的全国卷导数题都有这样一个特点:第(1)小题的结论可以在第(2)小题当中使用。我们做完第(1)小题后,其实只是求出了一个未知参数,没有得到某一个具体函数的性质。这个时候,我们来观察第(2)小题当中的目标函数 $g(x)$。我们发现,$g(x)$ 的分母恰好是函数 $y$。因此,研究函数 $y$ 是非常有必要的。

另一方面,第(2)小题让我们证明一个不等式,而不是等式。因此,我们要想直接去掉分母比较困难。如果分母是恒正或恒负,能够大大降低我们的计算量,方便我们解题。所以,我们期望函数 $y$ 的值域应当恒正或恒负。即使不是,我们也可以在不同的区间上讨论。

由(1)可知:$f(x) = \ln (1-x)$,那么 $y = x\ln (1-x)$。显然,它们的定义域都是 $(-\infty, 1)$。根据(1)的求导结果,我们可以很容易写出 $y’$ 的解析式:

$$ y' = \ln (1-x)+\frac{x}{x-1} $$

解析式还存在对数函数,很难一眼看出单调性。但是对数函数求导一次就能变成分式,因此我们对函数 $y$ 求二阶导数:

$$ \begin{align} y'' &= \frac{1}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2} \\\\ &= \frac{x-2}{(x-1)^2} \end{align} $$

由于函数 $y$ 的定义域是 $(-\infty, 1)$,显然 $y’’ < 0$,$y’$ 在定义域内单调递减。而 $x = 0$ 是 $y$ 的极值点,也就是 $y’$ 的零点。故 $y$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递增,在$(0, 1)$ 上单调递减。因此我们可以判断:

$$ y < y(0) = 0 $$

这是一个非常漂亮的结论:$g(x)$ 的分母是恒负的。因此,要证 $g(x) < 1$,只需证 $x + f(x) > xf(x)$。于是我们令 $h(x) = x + f(x) - xf(x)$,并对其求导:

$$ h'(x) = 1 - \frac{1}{1-x} - \ln (1-x) + \frac{x}{1-x} $$

解析式当中还含有对数函数,我们需要求二阶导数,才能把对数消掉:

$$ \begin{align} h''(x) &= - \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{1-x} + \frac{1}{(x-1)^2} \\\\ &= \frac{1}{1-x} > 0 \end{align} $$

因此,$h’(x)$ 在定义域内单调递增。而 $h’(0) = 0$,故 $h(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递减,在 $(0, 1)$ 上单调递增。因此,我们可以判断:

$$ h(x) > h(0) = 0 $$

证毕。

总结

作为倒数第二题,本题难度适中。本题的关键就在于去分母,而去分母的思路来源于第(1)小题。如果不去分母,计算量极其巨大。本题没有涉及到分类讨论,与过去全国Ⅰ卷的导数题相比难度较小。

解析几何

已知抛物线 $C$: $x^2 = 2py (p>0)$ 的焦点为 $F$,且 $F$ 与圆 $M$: $x^2 + (y+4)^2 = 1$ 上点的距离最小值为 $4$。

(1) 求 $p$;

(2) 若点 $P$ 在圆 $M$ 上,$PA$、$PB$ 是抛物线 $C$ 的两条切线,$A$、$B$ 为切点,求 $\triangle PAB$ 面积的最大值。

第(1)小问需要求解焦准距 $p$,依题意,抛物线开口向上,小圆圆心在 $y$ 负半轴上。显然,抛物线焦点到圆顶部 $(0, -3)$ 的距离最小。我们可以列出下面这个简单方程求解:

$$ \begin{align} \frac{p}{2} - (-4+1) &= 4 \\\\ \Rightarrow p &= 2 \end{align} $$

重点来看第(2)小问。题型很常规,题目也非常易懂,就是求解三角形面积的最值问题。我们首先来梳理一下,三角形面积求解的主要方法:

  1. $S = \frac{1}{2}ah$。在解析几何中,我们通常需要先求出一条直线的方程,然后才能求直线上的线段长以及点到直线的距离。
  2. $S = \frac{1}{2}ab\sin\theta$。常见于平面几何解三角形,但是在解析几何中,该方法较少使用。原因在于,在解析几何中,一个角的正切值相对好求,可以用斜率的几何意义加上三角恒等变换中的两角正切差公式求出,但是由正切求正弦非常困难。余弦定理虽然可以求出余弦,但是计算量特别大,而正弦定理并不能求出一个角的正弦。

经过上述分析,我们明确,本题求解三角形面积应当采用第1种方法。那么,谁作底边,谁作顶点?很明显,动点 $P$ 是一定要作为顶点的,因为它是主动点。切点 $A$、$B$ 是从动点,它们是随着 $P$ 点的运动而运动的。这样,直线 $AB$ 就成了三角形底边所在直线。至此,我们的思路已基本明确。

解析几何有两种起手式:设点与设线。关于动点 $P$,这是一定要设的,毋庸置疑。难道我们希望联立两条切线以及圆的方程来确定 $P$ 点?这是绝对不可能的。我们应该如何设呢?我一开始想,可以尝试用参数方程,即设 $P$ 点坐标为 $(\cos\theta, \sin\theta - 4)$。但是,使用参数方程涉及到三角函数的计算,相较于有理代数运算困难。而且,抛物线的参数方程不含三角函数。因此,我们就设 $P$ 点坐标为 $(x_0, y_0)$。

现在,大难题出现了:究竟是设直线 $AB$ 的方程,还是设 $A$、$B$ 两个端点的坐标?我们下面逐一尝试一下:

设线

目前来看,直线 $AB$ 不过任何定点。因此,我们只能设直线 $AB$ 的斜截式方程,并与抛物线方程联立:

$$ \begin{cases} y = kx + b \\\\ x^2 = 4y \end{cases} $$

消去 $y$,得到:

$$ x^2 - 4kx -4b = 0 $$

弦长很容易就能计算。为了方便,我们计算弦长的平方:

$$ \begin{align} |AB|^2 &= (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 \\\\ &= (1 + k^2)[(x_1 + x_2)^2 - 4 x_1 x_2] \\\\ &= 16(1 + k^2)(k^2 + b) \end{align} $$

相切的条件该怎么用呢?我们可以把抛物线改写成二次函数求导:

$$ \begin{align} y &= \frac{1}{4}x^2 \\\\ \Rightarrow y' &= \frac{1}{2}x \end{align} $$

然后利用导数和切线斜率的关系列方程:

$$ \begin{cases} \frac{1}{2}x_1 = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} \\\\ \frac{1}{2}x_2 = \frac{y_2 - y_0}{x_2 - x_0} \end{cases} $$

计算量正在变大,但是还是可以算下去。我们去分母然后两式相加:

$$ \begin{align} \frac{1}{2}(x_1^2 + x_2^2) - \frac{1}{2}x_0(x_1 + x_2) &= y_1 + y_2 - 2 y_0 \\\\ \frac{1}{2}[(x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 x_2] - 2kx_0 &= k(x_1 + x_2) + 2b - 2y_0 \\\\ \frac{1}{2}(16k^2 + 8b) - 2kx_0 &= 4k^2 + 2b - 2y_0 \\\\ 2k^2 + y_0 + b &= kx_0 \end{align} $$

下面我们来计算点 $P$ 到 $AB$ 的距离。同样为了方便,我们来算距离的平方:

$$ \begin{align} d_{P \rightarrow AB}^2 &= \frac{(kx_0 + b - y_0)^2}{1 + k^2} \end{align} $$

这样,我们就可以来算三角形的面积了。同样是算面积的平方,要注意这里可以将 $kx_0$ 代入,将 $x_0$ 和 $y_0$ 一并消去:

$$ \begin{align} S_{\triangle PAB}^2 &= \frac{1}{4} |AB|^2 d_{P \rightarrow AB}^2 \\\\ &= 4 (1 + k^2) (k^2 + b) \frac{(kx_0 + b - y_0)^2}{1 + k^2} \\\\ &= 4 (k^2 + b) (2k^2 + 2b)^2 \\\\ &= 16 (k^2 + b)^3 \end{align} $$

显然,这里我们可以将 $k^2 + b$ 看成是一个整体。但是,$k^2 + b$ 一定是有取值范围的,我们需要确定这个取值范围。不过不要忘记,点 $P$ 在圆 $M$ 上的条件还没有使用:

$$ \begin{align} x_0^2 + (y_0 + 4)^2 = 1 \end{align} $$

然而,我已经感觉很不妙了,怎样才能通过 $x_0$ 和 $y_0$ 的关系确定 $k$ 和 $b$ 的关系呢?我发现了之前计算得到的一个式子:

$$ \begin{align} 2k^2 + y_0 + b &= kx_0 \end{align} $$

我们将这个式子两边平方,然后将 $x_0^2$ 整体代入得:

$$ \begin{align} (2k^2 + y_0 + b)^2 &= k^2 [1 - (y_0 + 4)^2] \end{align} $$

然而这个式子根本无法消掉 $y_0$。设线的方法宣告失败!

设点

我们设 $A$ 点坐标为 $(x_1, y_1)$,$B$ 点坐标为 $(x_2, y_2)$。关键来了,下一步应该干什么?是直接写出直线 $AB$ 的两点式方程吗?

显然不是的,因为我们有一个非常好的条件还没用——相切。因为我们有 $A$、$B$ 两点坐标,得到切线斜率非常容易,可以直接写出切线的点斜式方程:

$$ \begin{align} l_{PA}: y - y_1 = \frac{1}{2}x_1(x-x_1) \\\\ l_{PB}: y - y_2 = \frac{1}{2}x_2(x-x_2) \end{align} $$

由于 $A$、$B$ 两点都在抛物线上,满足抛物线方程,我们可以把上面的直线方程简化一下:

$$ \begin{align} l_{PA}: y = \frac{1}{2}x_1x-y_1 \\\\ l_{PB}: y = \frac{1}{2}x_2x-y_2 \end{align} $$

这两条切线都经过 $P$ 点,我们将 $P$ 点坐标代入:

$$ \begin{cases} y_0 = \frac{1}{2}x_1x_0-y_1 \\\\ y_0 = \frac{1}{2}x_2x_0-y_2 \end{cases} $$

本题的破题点来了。你是否能看出直线 $AB$ 的方程?

$$ \begin{align} l_{AB}: y_0 = \frac{1}{2}x_0x-y \end{align} $$

$A$、$B$ 两点都满足上面的方程,而两点确定一条直线,那么上面的方程就表示直线 $AB$。

有了直线 $AB$ 的方程,一切都好办了。先把直线方程与抛物线方程联立:

$$ \begin{cases} y_0 = \frac{1}{2}x_0x-y \\\\ x^2 = 4y \end{cases} $$

得到:

$$ \begin{align} x^2 - 2x_0x + 4y_0 = 0 \end{align} $$

先算弦长:

$$ \begin{align} |AB|^2 &= (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 \\\\ &= (1 + \frac{1}{4} x_0^2)[(x_1 + x_2)^2 - 4 x_1 x_2] \\\\ &= (1 + \frac{1}{4} x_0^2)(4x_0^2 - 16y_0) \end{align} $$

再算距离:

$$ \begin{align} d_{P \rightarrow AB}^2 &= \frac{(\frac{1}{2}x_0^2 - 2y_0)^2}{1 + \frac{1}{4}x_0^2} \end{align} $$

最后算三角形的面积。要注意,这里我们再用点 $P$ 在圆 $M$ 上的条件来消参就可以成功:

$$ \begin{align} S_{\triangle PAB}^2 &= \frac{1}{4} |AB|^2 d_{P \rightarrow AB}^2 \\\\ &= (x_0^2 - 4y_0) (\frac{1}{2}x_0^2 - 2y_0)^2 \\\\ &= 2(\frac{1}{2}x_0^2 - 2y_0)^3 \\\\ &= 2[\frac{1}{2}(1 - (y_0 + 4)^2) - 2y_0]^3 \\\\ &= 2[\frac{1}{2} - \frac{1}{2}(y_0^2 + 8y_0 + 16) - 2y_0]^3 \\\\ &= 2[-\frac{1}{2}y_0^2 - 6y_0 - \frac{15}{2}]^3 \\\\ &= 2[-\frac{1}{2}(y_0 + 6)^2 + \frac{21}{2}]^3 \\\\ \end{align} $$

配方后,转化为二次函数在闭区间上的最值问题。而 $y_0 \in [-5, -3]$,故 $y_0 = -5$ 时,$S_{\triangle PAB}$ 取最大值,最大值为:

$$ \begin{align} S_{\triangle PAB} &= \sqrt[]{2[-\frac{1}{2}(-5 + 6)^2 + \frac{21}{2}]^3} \\\\ &= 20 \sqrt[]{5} \end{align} $$

总结

解析几何作为全国卷压轴大题的情况较为罕见,但实际上这道题目非常常规,计算量其实不算特别大,但是有一定的技巧性。

首先,要明确计算三角形面积的思路。然后,要选择设点作为起手式。这里面的原因在于,设点可以更好地利用相切的已知条件,可以非常方便地写出切线方程。再加上对直线方程的理解,可以不用计算就可以得到弦所在直线方程。虽然设线在一开始就可以得到弦所在直线方程,但是相切的条件就不是那么方便使用,而且计算到最后,利用 $P$ 点在圆上的条件很难消参。

另外,本题不适合设线还有一个原因就是,本题的 $P$ 点是主动点,而切点是从动点。设线相当于是把切点当成主动点了,这样就会产生一个问题,需要反过来表示 $P$ 点的时候就会困难,体现在解题步骤当中就是无法消参。

在考场上,最大的困难就在于理清思路。如果没有理清思路,就是直接设完就算,最终自己都不知道自己在算什么了。

Bowen Zhou
Bowen Zhou
Student pursuing a PhD degree of Computer Science and Technology

My research interests include Edge Computing and Edge Intelligence.